Integral

A. Pengertian Integral Secara Umum 

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F'(x)=f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Keterangan :

 : notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

f(x) : fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/ integralnya)

F(x) : fungsi integral umum yang bersifat F'(x) = f(x)

c : konstanta

Read More

Soal dan Pembahasan Matematika Keuangan

Soal dan Pembahasan Matematika Keuangan

1. Setiap awal bulan Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp. 500.000,00. Jika bank memberikan bunga 4%/ bulan dengan pembungaan di tiap awal bulan, tentukan uang Dani setelah menabung 17 bulan!

Pembahasan:

Setiap awal bulan -- Rente Pranumerando

Angsuran tiap awal, ditanya nilai akhir

Jadi, uang Dani setelah menabung selama 17 bulan adalah Rp. 12.322.706,00.

2. Tira mendapat beasiswa dari pemerintah yang dibayarkan setiap awal bulan sebesar Rp. 350.000,00 selama 3 tahun. Jika beasiswa diberikan di awal bulan pertama dengan bunga 1,5%/bulan, tentukan total beasiswa yang diterima Tira!

Pembahasan:

Setiap awal bulan -- Rente Pranumerando

Angsuran tiap awal, yang ditanya nilai tunai

Jadi, total beasiswa yang diterima Tira adalah Rp. 9.826.458,00

3. Setiap akhir bulan Ranita menabung di bank sebesar Rp. 225.000,00 selama 7 bulan dengan bunga 2%/bulan dari bank dengan pembungaan di tiap akhir bulan. Tentukan total tabungan Ranita di bank tersebut!

Pembahasan:

Setiap akhir bulan -- Rente Postnumerando

Angsuran tiap akhir, yang ditanya nilai akhir

Jadi, total tabungan Ranita di bank adalah Rp. 1.672.714,00

4. Setiap akhir bulan Panti Asuhan Kanyaah Indung menerima uang dari Yayasan Sebelas April sebesar Rp. 500.000,00 dengan bunga 3%/bulang di setiap akhir bulan. Jika panti asuhan menghendaki penerimaan uang tersebut di awal bulan pertama, tentukan besar uang yang diterima panti tersebut selama 2,5 tahun!

Pembahasan:

Setiap akhir bulan -- Rente Postnumerando

Angsuran tiap akhir, yang ditanya nilai tunai

Jadi, besar uang yang diterima panti adalah Rp. 9.800.220,00

5. Suatu modal sebesar Rp. 100.000,00 dibungakan selama 3,5 tahun atas dasar bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukan nilai akhir modal tersebut!

Pembahasan :

Jadi, nilai akhir modal tersebut adalah Rp. 185.194,00

6. Agus mendepositokan uang di bank sebesar Rp. 10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Besarnya bunga yang ia dapatkan pada tahun ke-10 adalah ...

Pembahasan:

Jadi, besar bunga yang di dapatkan pada tahun ke-10 adalah Rp. 6.288.946,00

7. Modal sebesar Rp. 500.000,00 akan dibayarkan 10 tahun lagi atas dasar bunga majemuk 6% setahun. Tentukan nilai tunai modal tersebut!

Pembahasan: 

Jadi, nilai tunai modal tersebut adalah Rp. 279.197,00

8. Lastri meminjam uang di bank sejumlah Rp. 1.500.000,00. Dalam jangka waktu satu tahun, ia harus mengembalikan Rp. 1620.000,00. Maka suku bunga pinjaman Lastri adalah ...

Pembahasan:

Jadi, suku bunga pinjamannya adalah 8% per tahun.

9. Modal sebesar RP. 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Hitunglah besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% per tahun dalam jangka waktu 5 tahun.

Pembahasan :

Besar bunga yang di terima dalam jangka 5 tahun

Besar bunga yang diterima adalah Rp. 1.100.000,00

Modal akhir dalam jangka 5 tahun :

Jadi, besarnya modal akhir adalah Rp. 3.100.000,00

Butuh Tutor Online? Hubungi langsung via WhatsApp di bawah ini!

Read More

Matematika Keuangan/Financial Mathematics [Rente Postnumerandro]

Rente Postnumerando

Pembayaran atau penerimaan sejumlah uang dilakukan pada setiap akhir tahun atau bulan.

1. Nilai Akhir Rente Postnumerando

Rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhir tidak mengalami pembungaan satu periode. Angsurannya tiap akhir, yang ditanya nilai akhir.

2. Nilai Tunai Rente Postnumerando

Jumlah semua nilai tunai angsuran yang di hitung pada masa akhir bunga yang pertama. Angsuran tiap akhir, yang ditanya nilai akhir.

Read More

Matematika Keuangan/Financial Mathematics [Rente Pranumerando]

Rente Pranumerando

Pembayaran atau penerimaan sejumlah uang dilakukan pada setiap awal tahun atau awal bulan.

1. Nilai Akhir Rente Pranumerando

Rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Angsurannya tiap awal, namun yang ditanya nilai akhir.

2. Nilai Tunai Rente Pranumerando

Jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada masa awal bunga yang pertama. Angsurannya tiap awal, yang ditanya nilai tunai.

Read More

Matematika Keuangan/Financial Mathematics [Bunga Majemuk]

Bunga Majemuk

Bunga yang timbul setiap akhir jangka waktu tertentu yang memengaruhi besarnya modal dan bunga pada setiap jangka waktunya.

1. Rumus Menghitung Bunga Majemuk

Bunga majemuk

Besar bunga yang didapat

2. Nilai Tunai Modal

Suatu nilai modal beberapa bulan/tahun yang akan datang diperhitungkan sekarang dengan suku bunga yang sudah ditentukan.

Read More

Matematika Keuangan/Financial Mathematics [Bunga Tunggal]

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak memengaruhi besarnya modal yang dipinjam.

1. Bunga Tunggal Setoran Tunggal

• Penabung menabung hanya sekali di awal periode, setelah itu dibungakan selama beberapa periode.
• Besarnya bunga dinyatakan dalam % (persen) disebut suku bunga
• Suku bunga adalah perbandingan antara bunga dengan modal dalam satuan waktu tertentu.

Jika suatu modal Mo dibungakan dengan jasa mosal sebesar B, maka suku bunga b per satuan waktu  adalah

Jika modal Mo dibungakan selama n periode dan suku bunga b% dengan cara bunga tunggal, maka

Besar bunga yang diterima per periode

2. Bunga Tunggal Setoran Berulang

Penabung tidak hanya menabung di awal periode tetapi konstan dalam jumlah yang sama di setiap pembungaan.

Read More

Matriks

A. Pengertian Matriks

     A : nama matriks

 : ordo matriks , yaitu ukuran sebuah matriks (banyaknya baris dan kolom dalam matriks) : Matriks A berordo m x n, dengan m baris dan n kolom

B. Jenis-jenis Matriks

1. Matriks Baris, yaitu matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu baris. Contoh :
   
2. Matriks Kolom, yaitu matriks berordo m x 1 atau hanya memiliki satu kolom. Contoh :
   
3. Matriks Tegak, yaitu matriks berordo m x n, dengan m > n. Contoh :
   
4. Matriks Datar, yaitu matriks berordo m x n, dengan m < n. Contoh :
   
5. Matriks Bujur Sangkar, matriks berordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, disebut juga matriks persegi berordo n. Contoh :
   
6. Matriks Nol, yaitu matriks yang semua elemennya adalah nol dan di notasikan dengan O. Contoh : 
   
7. Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol dan di notasikan dengan D. Contoh : 
   
8. Matriks Identitas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di diagonal utamanya bernilai 1 dan yang lainnya bernilai nol, dinotasikan dengan I.
   
9. Matriks Segitiga, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen dibawah atau siatas diagonal utamanya bernilai nol. Contoh : 
   

A : matriks segitiga atas

B : matriks segitiga bawah

C. Kesamaan Dua Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama bila memiliki ordo yang sama dan memiliki elemen yang sama pada setiap selnya.

D. Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat : Ordenya sama

Metode : Elemen-elemen yang seletak dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh :

2. Perkalian Matriks dengan Skalar

Matriks A dikalikan dengan skalar A, maka kA diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap elemen pada A.

Contoh :

3. Perkalian Dua Matriks

Syarat : Jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Metode : Baris kali kolom

Contoh :

E. Transpose Matriks

 diperoleh dengan memindahkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya.

F. Determinan Matriks

Syarat suatu matriks mempunyai determinan adalah matriks tersebut merupakan matriks persegi.

1. Determinan matriks berordo 2 x 2

2. Determinan matriks berordo 3 x 3 

Read More